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195/60R16 89H FALKEN ファルケン SINCERA SN832i シンセラ SN832i JP STYLE WOLX JPスタイル ヴォルクス サマータイヤホイール4本セット

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  2. ノート
  3. 2次方程式の解の配置問題

2次方程式の解の配置問題

タイプ:教科書範囲 レベル:★★★★ 

ページのタイプは大きく分けて以下の5つ

基本事項:大学受験で知っているといい知識,必須知識

教科書範囲:教科書範囲 225/55R17 97W DUNLOP ダンロップ ENASAVE EC202 エナセーブ EC202 VELVA SPORT ヴェルヴァ スポルト サマータイヤホイール4本セット,センター試験のみの志望者 ,入試で数学を使う人全員向け

入試の標準:教科書の応用,発展にある内容や 【2017年製】 145/80R13 ブリヂストン ブリザック VRX2 スタッドレスタイヤ ホイールセット 4本 BRIDGESTONE BLIZZAK VRX2 ザインSV 13-4.00B 車種例 タント,MARCH,中堅国公立クラス以上の志望者向け

難関大対策:旧帝国大学 [ホイール1本(単品)] SSR / EXECUTOR EX01 (FBK) 19インチ×9.5J PCD:114.3 穴数:5 インセット:-5,東工大,一橋,早慶,医学部クラス以上の志望者向け

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  3. 2次方程式の解の配置問題

2次方程式の解の配置問題

タイプ:教科書範囲 レベル:★★★★ 

ページのタイプは大きく分けて以下の5つ

基本事項:大学受験で知っているといい知識,必須知識

教科書範囲:教科書範囲,センター試験のみの志望者,入試で数学を使う人全員向け

入試の標準:教科書の応用,発展にある内容や,MARCH,中堅国公立クラス以上の志望者向け

難関大対策:旧帝国大学,東工大,一橋,早慶,医学部クラス以上の志望者向け

難関大対策 $+\alpha$:マニアック.上記の難関大学の中でも,数学を武器にしたい人向け


レベルは大きく分けて5つ

思考力,計算力などで★〜★★★★★の5つにランク分け

2次関数の単元の最後に待ち構える,いわゆるラスボス的な存在がこれです.受験生でも苦手としている人が多いです.


それなりに難易度が高いですが教科書範囲です.入試やセンター試験でも頻出です.


1回で理解してマスターするのは難しいでしょう.何度も問題を解きましょう!





ポイント

2次方程式の解の配置問題の解き方

グラフを書いて( $y$ 軸は書かない),3つの条件


・端点条件 (端点の $\boldsymbol{y}$ 座標が正か負か判断)


・軸条件 (軸の範囲を図から判断)


・判別式(頂点の $\boldsymbol{y}$ 座標) (判別式の正負(頂点の $y$ 座標の正負)を図から判断)


をチェック.これらすべてを満たした共通範囲が答えです.



このマニュアルに従っていけば大抵解けると思います.以下で説明します.



例題

例題

$x$ についての2次方程式 $x^{2}-2ax+2a+8=0$ が次の条件を満たすような $a$ の値の範囲を求めよ.

(1) 異なる2つの実数解がともに $2$ より大きい.

(2) 正と負の解が1つずつある.

(3) 2つの実数解がともに $0$ と $6$ の間にある.


例題の解答

(左辺) $=f(x)=x^{2}-2ax+2a+8$ とおく.

軸は $x=a$ であることがわかりますね.

(1) まずわかっていることを図にします.

解は2次関数と $x$ 軸の交点なので,それらが $2$ より大きい図を書きます.端点とは,$x$ の範囲の端っこにある $y=f(x)$ 上の点です.端点の $y$ 座標が正か負かチェックします.図から明らかに正ですね.つまり

端点条件 $\boldsymbol{f(2)=-2a+12>0 \Longleftrightarrow a<>

次に軸条件です.図から明らかですね.

軸条件 $\boldsymbol{a>2}$

最後に判別式です.異なる2つの実数解をもつので

判別式 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{D}{4}=a^{2}-2a-8>0 \Longleftrightarrow a<><>

これらの共通範囲より $\boldsymbol{4<><>


(2) 

1つの解が正で,1つの解が負です.上に手書きで書きましたが,端点が軸の右か左かわかりません.それ故に軸に関してわかることがないので,軸条件はありません.

端点条件 $\boldsymbol{f(0)=2a+8< 0="" \longleftrightarrow=""><>

軸条件 なし

そして特筆すべきは判別式が不要だということです.端点がすでに $x$ 軸の下にあるので,必然的に異なる2つの解を持つことが保証されます.(判別式を入れて共通範囲を出しても構いませんが,端点条件に吸収されます.)

以上より $\boldsymbol{a<>


(3)

端点は今回は2つですね.図から言えることを式にします.

端点条件 $\begin{cases} \boldsymbol{f(0)=2a+8>0 \Longleftrightarrow a>-4} \\ \boldsymbol{f(6)=-10a+44>0 \Longleftrightarrow a<>

軸条件 $\boldsymbol{0<><>

判別式 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{D}{4}=a^{2}-2a-8\geqq0 \Longleftrightarrow a\leqq -2,4\leqq a}$

(2つの解というと重解も含みます.)

これらの共通範囲より $\boldsymbol{4\leqq a< \dfrac{22}{5}="">





練習問題

練習

$x$ についての2次方程式 $3x^{2}+4ax+a^{2}+a=0$ が次の条件を満たすような $a$ の値の範囲を求めよ.

(1) 2つの実数解がともに正である.

(2) 正と負の解が1つずつある.

(3) $-2<><><>< 1$="">


練習の解答

解答

(左辺) $=f(x)=3x^{2}+4ax+a^{2}+a$ とおく.

軸は $\displaystyle x=-\dfrac{2}{3}a$ であることがわかりますね.

(1)

端点条件 $f(0)=a^{2}+a>0 \Longleftrightarrow a< -1,=""><>

軸条件 $\displaystyle -\dfrac{2}{3}a>0 \Longleftrightarrow a<>

判別式 $\displaystyle \dfrac{D}{4}=a^{2}-3a\geqq 0 \Longleftrightarrow a\leqq0,3\leqq a$

共通範囲より $\boldsymbol{a<>


(2)

端点条件 $f(0)=a^{2}+a< 0="" \longleftrightarrow=""><><>

軸条件 なし

判別式 不要(端点条件が異なる2つの実数解を持つことを保証する)

以上より $\boldsymbol{-1<><>


(3)

端点条件

$\begin{cases} f(-2)=a^{2}-7a+12>0< 0="" \longleftrightarrow=""><3,>< a="" \\="" f(0)="">< 0="" \longleftrightarrow=""><>< 0="" \\="" f(1)="a^{2}+5a+3">0< 0="" \longleftrightarrow="">< \dfrac{-5-\sqrt{13}}{2},="">< a="">

軸条件 不要 $\displaystyle \left(端点条件が必然的に -2<>< 1="" を満たす\right)$="">

判別式 不要(端点条件が異なる2つの実数解を持つことを保証する)

以上より $\boldsymbol{\displaystyle \dfrac{-5+\sqrt{13}}{2}<><>

※ $\displaystyle \left(3<><4 \longleftrightarrow=""><><>




\alpha$:マニアック.上記の難関大学の中でも,数学を武器にしたい人向け


レベルは大きく分けて5つ

思考力 【メーカー在庫あり】 R216.4203030AL04G サンドビック(株) サンドビック コロミルプルーラ 超硬ソリッドエンドミル 1700 R216.42-03030-AL04G HD,計算力などで★〜★★★★★の5つにランク分け

2次関数の単元の最後に待ち構える,いわゆるラスボス的な存在がこれです.受験生でも苦手としている人が多いです.


それなりに難易度が高いですが教科書範囲です.入試やセンター試験でも頻出です.


1回で理解してマスターするのは難しいでしょう.何度も問題を解きましょう!





FALKEN SN832i ファルケン ヴォルクス JPスタイル 89H STYLE 195/60R16 WOLX 89H JP サマータイヤホイール4本セット シンセラ SINCERA STYLE SN832i

2次方程式の解の配置問題の解き方

グラフを書いて( $y$ 軸は書かない),3つの条件


・端点条件 (端点の $\boldsymbol{y}$ 座標が正か負か判断)


・軸条件 (軸の範囲を図から判断)


・判別式(頂点の $\boldsymbol{y}$ 座標) (判別式の正負(頂点の $y$ 座標の正負)を図から判断)


をチェック.これらすべてを満たした共通範囲が答えです.



このマニュアルに従っていけば大抵解けると思います.以下で説明します.



例題

例題

$x$ についての2次方程式 $x^{2}-2ax+2a+8=0$ が次の条件を満たすような $a$ の値の範囲を求めよ.

(1) 異なる2つの実数解がともに $2$ より大きい.

(2) 正と負の解が1つずつある.

(3) 2つの実数解がともに

  1. HOME
  2. ノート
  3. 2次方程式の解の配置問題

2次方程式の解の配置問題

タイプ:教科書範囲 レベル:★★★★ 

ページのタイプは大きく分けて以下の5つ

基本事項:大学受験で知っているといい知識,必須知識

教科書範囲:教科書範囲,センター試験のみの志望者,入試で数学を使う人全員向け

入試の標準:教科書の応用,発展にある内容や,MARCH,中堅国公立クラス以上の志望者向け

難関大対策:旧帝国大学,東工大,一橋,早慶,医学部クラス以上の志望者向け

難関大対策 $+\alpha$:マニアック.上記の難関大学の中でも,数学を武器にしたい人向け


レベルは大きく分けて5つ

思考力,計算力などで★〜★★★★★の5つにランク分け

2次関数の単元の最後に待ち構える,いわゆるラスボス的な存在がこれです.受験生でも苦手としている人が多いです.


それなりに難易度が高いですが教科書範囲です.入試やセンター試験でも頻出です.


1回で理解してマスターするのは難しいでしょう.何度も問題を解きましょう!





ポイント

2次方程式の解の配置問題の解き方

グラフを書いて( $y$ 軸は書かない),3つの条件


・端点条件 (端点の $\boldsymbol{y}$ 座標が正か負か判断)


・軸条件 (軸の範囲を図から判断)


・判別式(頂点の $\boldsymbol{y}$ 座標) (判別式の正負(頂点の $y$ 座標の正負)を図から判断)


をチェック.これらすべてを満たした共通範囲が答えです.



このマニュアルに従っていけば大抵解けると思います.以下で説明します.



例題

例題

$x$ についての2次方程式 $x^{2}-2ax+2a+8=0$ が次の条件を満たすような $a$ の値の範囲を求めよ.

(1) 異なる2つの実数解がともに $2$ より大きい.

(2) 正と負の解が1つずつある.

(3) 2つの実数解がともに $0$ と $6$ の間にある.


例題の解答

(左辺) $=f(x)=x^{2}-2ax+2a+8$ とおく.

軸は $x=a$ であることがわかりますね.

(1) まずわかっていることを図にします.

解は2次関数と $x$ 軸の交点なので,それらが $2$ より大きい図を書きます.端点とは,$x$ の範囲の端っこにある $y=f(x)$ 上の点です.端点の $y$ 座標が正か負かチェックします.図から明らかに正ですね.つまり

端点条件 $\boldsymbol{f(2)=-2a+12>0 \Longleftrightarrow a<>

次に軸条件です.図から明らかですね.

軸条件 $\boldsymbol{a>2}$

最後に判別式です.異なる2つの実数解をもつので

判別式 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{D}{4}=a^{2}-2a-8>0 \Longleftrightarrow a<><>

これらの共通範囲より $\boldsymbol{4<><>


(2) 

1つの解が正で,1つの解が負です.上に手書きで書きましたが,端点が軸の右か左かわかりません.それ故に軸に関してわかることがないので,軸条件はありません.

端点条件 $\boldsymbol{f(0)=2a+8< 0="" \longleftrightarrow=""><>

軸条件 なし

そして特筆すべきは判別式が不要だということです.端点がすでに $x$ 軸の下にあるので,必然的に異なる2つの解を持つことが保証されます.(判別式を入れて共通範囲を出しても構いませんが,端点条件に吸収されます.)

以上より $\boldsymbol{a<>


(3)

端点は今回は2つですね.図から言えることを式にします.

端点条件 $\begin{cases} \boldsymbol{f(0)=2a+8>0 \Longleftrightarrow a>-4} \\ \boldsymbol{f(6)=-10a+44>0 \Longleftrightarrow a<>

軸条件 $\boldsymbol{0<><>

判別式 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{D}{4}=a^{2}-2a-8\geqq0 \Longleftrightarrow a\leqq -2,4\leqq a}$

(2つの解というと重解も含みます.)

これらの共通範囲より $\boldsymbol{4\leqq a< \dfrac{22}{5}="">





練習問題

練習

$x$ についての2次方程式 $3x^{2}+4ax+a^{2}+a=0$ が次の条件を満たすような $a$ の値の範囲を求めよ.

(1) 2つの実数解がともに正である.

(2) 正と負の解が1つずつある.

(3) $-2<><><>< 1$="">


練習の解答

解答

(左辺) $=f(x)=3x^{2}+4ax+a^{2}+a$ とおく.

軸は $\displaystyle x=-\dfrac{2}{3}a$ であることがわかりますね.

(1)

端点条件 $f(0)=a^{2}+a>0 \Longleftrightarrow a< -1,=""><>

軸条件 $\displaystyle -\dfrac{2}{3}a>0 \Longleftrightarrow a<>

判別式 $\displaystyle \dfrac{D}{4}=a^{2}-3a\geqq 0 \Longleftrightarrow a\leqq0,3\leqq a$

共通範囲より $\boldsymbol{a<>


(2)

端点条件 $f(0)=a^{2}+a< 0="" \longleftrightarrow=""><><>

軸条件 なし

判別式 不要(端点条件が異なる2つの実数解を持つことを保証する)

以上より $\boldsymbol{-1<><>


(3)

端点条件

$\begin{cases} f(-2)=a^{2}-7a+12>0< 0="" \longleftrightarrow=""><3,>< a="" \\="" f(0)="">< 0="" \longleftrightarrow=""><>< 0="" \\="" f(1)="a^{2}+5a+3">0< 0="" \longleftrightarrow="">< \dfrac{-5-\sqrt{13}}{2},="">< a="">

軸条件 不要 $\displaystyle \left(端点条件が必然的に -2<>< 1="" を満たす\right)$="">

判別式 不要(端点条件が異なる2つの実数解を持つことを保証する)

以上より $\boldsymbol{\displaystyle \dfrac{-5+\sqrt{13}}{2}<><>

※ $\displaystyle \left(3<><4 \longleftrightarrow=""><><>




$ と $6$ の間にある.


例題の解答

(左辺) $=f(x)=x^{2}-2ax+2a+8$ とおく.

軸は $x=a$ であることがわかりますね.

(1) まずわかっていることを図にします.

解は2次関数と $x$ 軸の交点なので,

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,それらが $2$ より大きい図を書きます.端点とは,$x$ の範囲の端っこにある $y=f(x)$ 上の点です.端点の $y$ 座標が正か負かチェックします.図から明らかに正ですね.つまり

端点条件 $\boldsymbol{f(2)=-2a+12>0 \Longleftrightarrow a<>

次に軸条件です.図から明らかですね.

軸条件 $\boldsymbol{a>2}$

最後に判別式です.異なる2つの実数解をもつので

判別式 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{D}{4}=a^{2}-2a-8>0 \Longleftrightarrow a<><>

これらの共通範囲より $\boldsymbol{4<><>


(2) 

1つの解が正で,1つの解が負です.上に手書きで書きましたが,端点が軸の右か左かわかりません.それ故に軸に関してわかることがないので,軸条件はありません.

端点条件 $\boldsymbol{f(0)=2a+8< 0="" \longleftrightarrow=""><>

軸条件 なし

そして特筆すべきは判別式が不要だということです.端点がすでに $x$ 軸の下にあるので,必然的に異なる2つの解を持つことが保証されます.(判別式を入れて共通範囲を出しても構いませんが,端点条件に吸収されます.)

以上より $\boldsymbol{a<>


(3)

端点は今回は2つですね.図から言えることを式にします.

端点条件 $\begin{cases} \boldsymbol{f(0)=2a+8>0 \Longleftrightarrow a>-4} \\ \boldsymbol{f(6)=-10a+44>0 \Longleftrightarrow a<>

軸条件 $\boldsymbol{0<><>

判別式 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{D}{4}=a^{2}-2a-8\geqq0 \Longleftrightarrow a\leqq -2,4\leqq a}$

(2つの解というと重解も含みます.)

これらの共通範囲より $\boldsymbol{4\leqq a< \dfrac{22}{5}="">





練習問題

練習

$x$ についての2次方程式 $3x^{2}+4ax+a^{2}+a=0$ が次の条件を満たすような $a$ の値の範囲を求めよ.

(1) 2つの実数解がともに正である.

(2) 正と負の解が1つずつある.

(3) $-2<>< 0$="">

  1. HOME
  2. ノート
  3. 2次方程式の解の配置問題

2次方程式の解の配置問題

タイプ:教科書範囲 レベル:★★★★ 

ページのタイプは大きく分けて以下の5つ

基本事項:大学受験で知っているといい知識,必須知識

教科書範囲:教科書範囲,センター試験のみの志望者,入試で数学を使う人全員向け

入試の標準:教科書の応用,発展にある内容や,MARCH,中堅国公立クラス以上の志望者向け

難関大対策:旧帝国大学,東工大,一橋,早慶,医学部クラス以上の志望者向け

難関大対策 $+\alpha$:マニアック.上記の難関大学の中でも,数学を武器にしたい人向け


レベルは大きく分けて5つ

思考力,計算力などで★〜★★★★★の5つにランク分け

2次関数の単元の最後に待ち構える,いわゆるラスボス的な存在がこれです.受験生でも苦手としている人が多いです.


それなりに難易度が高いですが教科書範囲です.入試やセンター試験でも頻出です.


1回で理解してマスターするのは難しいでしょう.何度も問題を解きましょう!





ポイント

2次方程式の解の配置問題の解き方

グラフを書いて( $y$ 軸は書かない),3つの条件


・端点条件 (端点の $\boldsymbol{y}$ 座標が正か負か判断)


・軸条件 (軸の範囲を図から判断)


・判別式(頂点の $\boldsymbol{y}$ 座標) (判別式の正負(頂点の $y$ 座標の正負)を図から判断)


をチェック.これらすべてを満たした共通範囲が答えです.



このマニュアルに従っていけば大抵解けると思います.以下で説明します.



例題

例題

$x$ についての2次方程式 $x^{2}-2ax+2a+8=0$ が次の条件を満たすような $a$ の値の範囲を求めよ.

(1) 異なる2つの実数解がともに $2$ より大きい.

(2) 正と負の解が1つずつある.

(3) 2つの実数解がともに $0$ と $6$ の間にある.


例題の解答

(左辺) $=f(x)=x^{2}-2ax+2a+8$ とおく.

軸は $x=a$ であることがわかりますね.

(1) まずわかっていることを図にします.

解は2次関数と $x$ 軸の交点なので,それらが $2$ より大きい図を書きます.端点とは,$x$ の範囲の端っこにある $y=f(x)$ 上の点です.端点の $y$ 座標が正か負かチェックします.図から明らかに正ですね.つまり

端点条件 $\boldsymbol{f(2)=-2a+12>0 \Longleftrightarrow a<>

次に軸条件です.図から明らかですね.

軸条件 $\boldsymbol{a>2}$

最後に判別式です.異なる2つの実数解をもつので

判別式 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{D}{4}=a^{2}-2a-8>0 \Longleftrightarrow a<><>

これらの共通範囲より $\boldsymbol{4<><>


(2) 

1つの解が正で,1つの解が負です.上に手書きで書きましたが,端点が軸の右か左かわかりません.それ故に軸に関してわかることがないので,軸条件はありません.

端点条件 $\boldsymbol{f(0)=2a+8< 0="" \longleftrightarrow=""><>

軸条件 なし

そして特筆すべきは判別式が不要だということです.端点がすでに $x$ 軸の下にあるので,必然的に異なる2つの解を持つことが保証されます.(判別式を入れて共通範囲を出しても構いませんが,端点条件に吸収されます.)

以上より $\boldsymbol{a<>


(3)

端点は今回は2つですね.図から言えることを式にします.

端点条件 $\begin{cases} \boldsymbol{f(0)=2a+8>0 \Longleftrightarrow a>-4} \\ \boldsymbol{f(6)=-10a+44>0 \Longleftrightarrow a<>

軸条件 $\boldsymbol{0<><>

判別式 $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{D}{4}=a^{2}-2a-8\geqq0 \Longleftrightarrow a\leqq -2,4\leqq a}$

(2つの解というと重解も含みます.)

これらの共通範囲より $\boldsymbol{4\leqq a< \dfrac{22}{5}="">





練習問題

練習

$x$ についての2次方程式 $3x^{2}+4ax+a^{2}+a=0$ が次の条件を満たすような $a$ の値の範囲を求めよ.

(1) 2つの実数解がともに正である.

(2) 正と負の解が1つずつある.

(3) $-2<><><>< 1$="">


練習の解答

解答

(左辺) $=f(x)=3x^{2}+4ax+a^{2}+a$ とおく.

軸は $\displaystyle x=-\dfrac{2}{3}a$ であることがわかりますね.

(1)

端点条件 $f(0)=a^{2}+a>0 \Longleftrightarrow a< -1,=""><>

軸条件 $\displaystyle -\dfrac{2}{3}a>0 \Longleftrightarrow a<>

判別式 $\displaystyle \dfrac{D}{4}=a^{2}-3a\geqq 0 \Longleftrightarrow a\leqq0,3\leqq a$

共通範囲より $\boldsymbol{a<>


(2)

端点条件 $f(0)=a^{2}+a< 0="" \longleftrightarrow=""><><>

軸条件 なし

判別式 不要(端点条件が異なる2つの実数解を持つことを保証する)

以上より $\boldsymbol{-1<><>


(3)

端点条件

$\begin{cases} f(-2)=a^{2}-7a+12>0< 0="" \longleftrightarrow=""><3,>< a="" \\="" f(0)="">< 0="" \longleftrightarrow=""><>< 0="" \\="" f(1)="a^{2}+5a+3">0< 0="" \longleftrightarrow="">< \dfrac{-5-\sqrt{13}}{2},="">< a="">

軸条件 不要 $\displaystyle \left(端点条件が必然的に -2<>< 1="" を満たす\right)$="">

判別式 不要(端点条件が異なる2つの実数解を持つことを保証する)

以上より $\boldsymbol{\displaystyle \dfrac{-5+\sqrt{13}}{2}<><>

※ $\displaystyle \left(3<><4 \longleftrightarrow=""><><>




<>< 1$="">


練習の解答

解答

(左辺) $=f(x)=3x^{2}+4ax+a^{2}+a$ とおく.

軸は $\displaystyle x=-\dfrac{2}{3}a$ であることがわかりますね.

(1)

端点条件 $f(0)=a^{2}+a>0 \Longleftrightarrow a< -1,=""><>

軸条件 $\displaystyle -\dfrac{2}{3}a>0 \Longleftrightarrow a<>

判別式 $\displaystyle \dfrac{D}{4}=a^{2}-3a\geqq 0 \Longleftrightarrow a\leqq0,

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,3\leqq a$

共通範囲より $\boldsymbol{a<>


(2)

端点条件 $f(0)=a^{2}+a< 0="" \longleftrightarrow=""><><>

軸条件 なし

判別式 不要(端点条件が異なる2つの実数解を持つことを保証する)

以上より $\boldsymbol{-1<><>


(3)

端点条件

$\begin{cases} f(-2)=a^{2}-7a+12>0< 0="" \longleftrightarrow=""><3,>< a="" \\="" f(0)="">< 0="" \longleftrightarrow=""><>< 0="" \\="" f(1)="a^{2}+5a+3">0< 0="" \longleftrightarrow="">< \dfrac{-5-\sqrt{13}}{2},="">< a="">

軸条件 不要 $\displaystyle \left(端点条件が必然的に -2<>< 1="" を満たす\right)$="">

判別式 不要(端点条件が異なる2つの実数解を持つことを保証する)

以上より $\boldsymbol{\displaystyle \dfrac{-5+\sqrt{13}}{2}<>< 0}$="">

195/60R16 89H AHR20W FALKEN ファルケン SINCERA SN832i シンセラ SN832i JP STYLE HC27 WOLX JPスタイル ヴォルクス サマータイヤホイール4本セット

※ $\displaystyle \left(3<><4 \longleftrightarrow=""><><>




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